4. Interest (enkelvoudig en samengesteld)

Samenvatting voor bedrijfseconomie - Enkelvoudige en samengestelde interest

Wat is enkelvoudige interest?

Bij enkelvoudige interest rekenen we elke keer opnieuw interest over het originele bedrag. Dit originele bedrag noemen we het ‘kapitaal K’ of de contante waarde. K geeft aan hoeveel er in eerste instantie is ingelegd; het geeft dus de originele contante waarde. Vervolgens komt daar interest overheen. In het geval van enkelvoudig interest gebeurt dit dus elke periode opnieuw over kapitaal K.

Enkelvoudige interest: voorbeeld

Stel we geven een lening van €1.000 en we ontvangen een jaarlijks interestpercentage van 5%. Laten we dan even kijken wat er in drie jaar gebeurt. 

We beginnen met €1.000, dus K=1000, en aan het eind van elk jaar ontvangen we 5% over dit originele bedrag K. Laten we het eindbedrag van een jaar E noemen. Na jaar 1 krijgen we dan E1 = €1.000 + (0,05 * €1.000) = €1.050. Na jaar 2 hebben we dan E2 = €1.050 + (0,05 * €1.000) = €1.100. We tellen nu dus de interest over het originele bedrag op bij het eindbedrag van het vorige jaar. Na jaar 3 hebben we E3 = €1.100 + (0,05 * €1.000) = €1.150.

Goed, zo kunnen we wel even doorgaan. Maar, je ziet dus dat, omdat we telkens de interest van het originele bedrag nemen, er steeds een vast bedrag bij komt. 

Formule enkelvoudige interest

We zouden hier ook een formule van kunnen maken, zodat we in één keer het eindbedrag kunnen uitrekenen. We hebben dan dus beginbedrag K en interest i. Het aantal perioden dat we interest ontvangen noemen we n, waardoor we een eindwaarde En krijgen. De formule wordt dan En = K + K * i * n, dus het originele bedrag, plus het originele bedrag keer de interest keer het aantal perioden dat we interest krijgen. Als we ons voorbeeld zouden invullen, dan krijgen we E3 = 1.000 + 1.000 * 0,05 * 3 = €1.150, wat overeenkomt met wat we net hebben gezien. 

Samengestelde interest (eindwaarde)

Bij samengestelde interest berekenen we de interest over het eindbedrag van de vorige periode. Er wordt dus rente op rente gerekend. Laten we ons zelfde voorbeeld gebruiken, maar deze keer krijgen we dus samengestelde interest.

Samengestelde interest: voorbeeld

Aan het eind van jaar 1 krijgen we dan E1 = 1.000 * 1,05 = 1050. We doen hier dus gewoon het beginbedrag keer 1 + de interest. Je ziet dat na de eerste periode de eindwaarde E1 hetzelfde is voor de samengestelde interest als voor de enkelvoudige interest, wat natuurlijk logisch is, want er is nog geen rente op rente. Bij de tweede periode gebeurt dat wel. Om E2 te vinden gebruiken we hier namelijk de eindwaarde E1 en vermenigvuldigen dat met 1,05. Dus, we krijgen E2 = 1.050 * 1,05 = 1.102,50. Vervolgens doen we hetzelfde voor de eindwaarde na jaar 3, en dan krijgen we E3 = 1.102,50 * 1,05 = 1157,63.

Je ziet dat dit bedrag hoger ligt dan bij enkelvoudige rente, omdat we telkens interest berekenen over het bedrag inclusief de interest van vorige periode. Dit lijkt nu misschien niet zo’n groot verschil, maar als je dit veel perioden achter elkaar doet, of met grote bedragen, dan kan dit een groot verschil opleveren.

Formule samengestelde interest

Zeker als we willen rekenen met veel perioden, dan is het ook weer handig om een formule op te stellen om de eindwaarde En te berekenen. Daarvoor is het goed om te begrijpen dat we de vermenigvuldigingen ook net zo goed in één keer hadden kunnen doen. Als je een bepaald bedrag hebt, dat met iets vermenigvuldigd, en de uitkomst daarvan weer met iets vermenigvuldigd, dan hoef je dit niet per se in stappen te doen.

We hadden voor E3 dus ook gewoon 1.000 * 1,05 * 1,05 * 1,05 kunnen doen, dit komt namelijk ook gewoon uit op 1157,63. En, zoals je misschien wel weet is iets keer zichzelf dat getal in het kwadraat. 1,05 * 1,05 is dus 1,052 en 1,05 * 1,05 * 1,05 is 1,053. We kunnen een formule maken voor de eindwaarde na n jaar, namelijk En = K * (1 + i)n, dus het beginbedrag keer 1 plus de interest tot de macht van het aantal jaren n. Je krijgt dan bijvoorbeeld E3 = 1.000 * 1,053 = 1157,63. 

Samengestelde interest (contante waarde)

Nu hebben we gezien hoe je met een beginwaarde K en een interest i een eindwaarde E kan uitrekenen. Maar, we kunnen het ook de andere kant op doen. Dan hebben we dus een eindwaarde E, maar willen weten wat het beginkapitaal K is geweest. Dit beginkapitaal noemen we dus ook wel de contante waarde. 

Formule voor constante waarde

We moeten de formule van net dan omschrijven. We hebben dus En = K * (1 + i)n maar willen K weten. Als we beide kanten delen voor (1+i)n, dan krijgen we En * 1/(1+i)n = K. En, het zou kunnen dat je dit nog niet weet, maar 1 gedeeld door iets tot de macht n is hetzelfde als iets tot de macht -n. Hier staat dus eigenlijk En * (1+i)-n = K. Hoe dit wiskundig precies werkt hoef je in principe niet te weten, het belangrijkst is dat je onthoudt dat K gelijk staat aan de eindwaarde na n perioden keer 1+i tot de macht min n.

Contante waarde berekenen: voorbeeld

Voor de eindwaarde vanuit het startkapitaal doe je dus tot de macht n en voor de contante waarde vanuit de eindwaarde doe je tot de macht min n. Laten we weer even een voorbeeld pakken. Stel we hebben nu €2427,26 op onze bankrekening staan en weten dat dit er al 30 jaar op staat met een interestpercentage van 3%, hoeveel hadden we er dan initieel opgezet?

We pakken dan de formule die we net hebben opgesteld, dus K = En * (1+i)-n. Het aantal jaar is 30, dus n is 30, dus we krijgen eindwaarde E30 = €2427,26. En we weten interest i, namelijk 0,03. Dus, dan krijgen we K = 2427,26 * (1,03)-30 = 1000. De constante waarde, en dus het startkapitaal, is dus €1.000.