2. Drie voorbeelden van lineaire verbanden

Samenvatting voor wiskunde: Lineaire verbanden - drie voorbeelden

Lineaire verbanden aflezen uit een grafiek: voorbeeld 1

In het eerste voorbeeld krijgen we een grafiek gepresenteerd en moeten we met die informatie een tabel invullen en een formule opstellen. Je zult deze informatie beter begrijpen als je ook de video bekijkt, want daar zie je hoe de grafiek eruit ziet.

De makkelijkste manier is om eerst de tabel in te vullen en vervolgens de formule op te stellen. We zien dat de grafiek loopt van x = -5 t/m x = 5, dus we vullen dit in in de bovenste rij van onze tabel. Laten we beginnen bij de beginwaarde. Waar zat die ook alweer? Bij het snijpunt van de y-as, oftewel bij x = 0. Als x 0 is, dan snijdt de lijn namelijk precies de y-as. Als we dit punt aflezen zien we dat y gelijk is aan -1. We vullen dus in onze tabel bij x = 0 in dat y = -1.

Als we dan 1 stapje naar rechts gaan, bij x = 1, dan zien we dat y = 2. Bij x = 2 zien we dat een y-waarde van 5 hoort. X = 3 geeft y = 8. Zo zouden we de hele grafiek langs kunnen gaan. Maar, we kunnen aan de grafiek zien dat het een lineair verband is; het is namelijk een rechte lijn. En omdat een rechte lijn en dus een lineair verband is, weten we dat de grafiek telkens met precies dezelfde waarde stijgt. We kunnen de tabel dus ook verder invullen zonder naar de grafiek te kijken.

Als we kijken naar de waarden die we net in de tabel hebben ingevuld, dan kunnen we weer de verschillen in y-waarden uitrekenen en invullen in de onderste rij. We zien dat er telkens 3 bij komt als we een stapje naar rechts gaan. We kunnen dus makkelijk de waarden voor x = 4 en x = 5 invullen. Voor x = 4 doen we 8+3 en voor x = 5 doen we daar nog eens 3 bij. Dit geeft een waarde van 11.

Als we bij elk stapje naar rechts 3 optellen bij de y-waarde, geldt natuurlijk ook het omgekeerde als we een stapje naar links gaan. Dit betekent dus dat we de waarde voor x van -1, -2, -3,-4 en -5 ook makkelijk kunnen invullen. We trekken gewoon telkens 3 af van de y-waarde als we een stapje naar links gaan. We krijgen dan dus van rechts naar links vanaf x = 0 de waarden voor y: -4, -7, -10, -13, en -16.

Lineaire formule opstellen

Met de gegevens in de tabel kunnen we weer heel gemakkelijk de formule opstellen. Het is altijd goed om zelf eerst even op te schrijven wat de standaardvorm ook alweer was, namelijk: y = a * x + b. Nu moeten we dus het hellingsgetal “a” en de beginwaarde “b” invullen. Het hellingsgetal “a” kunnen we vinden door te kijken hoeveel y verandert als er bij x 1 bij komt. In de tabel betekent dit dat we dus kijken hoeveel er bij y bij komt als we een stapje naar rechts gaan. En, we hebben net gezien dat elke keer +3 is. Het hellingsgetal is dus 3! Dit vullen we in. In de grafiek kunnen we ook goed zien dat bij elk stapje naar recht, de grafiek 3 omhoog gaat.

De beginwaarde “b” is nog makkelijker. Hiervoor hoeven we namelijk alleen maar te kijken naar de y-waarde waar x 0 is. We zien in de tabel hier -1 staan. In de grafiek kunnen we ook goed zien dat de lijn door de y-as gaat bij -1. De beginwaarde “b” is dus -1. De formule wordt dus: y = 3 * x -1. Nu hebben we het lineair verband dus weer weergegeven in een formule, tabel en een grafiek.

Lineaire verbanden aflezen uit een tabel: voorbeeld 2

Bij het tweede voorbeeld krijgen we een kleine tabel. De opdracht is om een grafiek te tekenen voor de x-waarden 0 t/m 10 en uit te rekenen wat de y-waarde is bij x = 23. Ook hiervoor geldt dat de uitleg beter te begrijpen is met de video erbij.

Laten we beginnen met de grafiek. We hebben punten gekregen in de tabel, deze kunnen we dus tekenen in ons assenstelsel. Bij x = 3 zien we dat y een waarde heeft van 3,5. Bij x = 4 zetten we een punt op de hoogte van 2,5, bij x = 5 2, en bij x = 6 1,5.

We kunnen nu zowel in de grafiek als in de tabel zien dat we telkens 0,5 naar beneden gaan als we 1 stapje naar rechts gaan. Laten we de grafiek dus verder afmaken! Bij x = 7 hoort een y-waarde van 1, bij x = 8 0,5, bij x = 9 0 en bij x = 10 -0,5. Als we nu de linkerkant van de lijn willen afmaken, moeten we telkens 0,5 omhoog gaan als we een stapje naar links gaan. We krijgen dus bij x = 3 een y-waarde van 4, bij x = 2 4,5, bij x = 1 5 en bij x = 0 5,5.

Lineaire formule opstellen

Met een paar gegevens uit de tabel hebben we dus de hele grafiek opgesteld voor x van 0 t/m 10. Maar, nu moeten we ook uitrekenen wat de y-waarde is bij x=23, en dit kunnen we niet zien in de tabel of in de grafiek. Dit kunnen we beter uitrekenen als we de formule hebben. Met de gegevens die we nu hebben kunnen we redelijk makkelijk een formule opstellen. Deze keer gaan we de formule opstellen door goed naar de grafiek te kijken. We hebben natuurlijk weer de standaardvorm: y = a * x + b.

We zien in de grafiek dat bij elk stapje naar rechts er 0,5 afgaat in de y-waarde. We weten dus dat het hellingsgetal “a” hier -0,5 is. Dit vullen we in in onze formule. De beginwaarde “b” kunnen we vinden door te kijken waar de lijn de y-as snijdt, ofwel, waar x 0 is. We zien hier dat dat het geval is bij 5,5. De beginwaarde “b” is dus 5,5. Dit vullen we ook in in de formule en krijgen: y = -0,5 * x + 5,5. Nu hebben we dus een formule waarmee we y-waarden kunnen berekenen voor bepaalde waarden van x. Als we nu 23 invullen voor x, dan kunnen we dus de vraag beantwoorden. We krijgen dan dus: y = -0,5 * 23 + 5,5. Het antwoord op de vraag is dan: y = -6.

Een lineaire formule opstellen bij een grafiek: voorbeeld 3

Als laatste gaan we nog even kijken naar hoe we omgaan met grafieken die voor x geen stapgrootte van 1 hebben. Want hoe stellen we nou een formule op bij de volgende grafiek?

We hebben geleerd dat als we hellingsgetal “a” willen vinden, we moeten kijken hoeveel y verandert als x 1 stapje naar rechts gaat. Maar, in dit geval is het niet helemaal duidelijk hoeveel y nou precies naar beneden gaat als x 1 naar rechts gaat. In zo’n situatie is het vaak handig om te kijken of we wel een precieze daling kunnen vinden over meerdere stapjes van x. In deze grafiek kunnen niet heel duidelijk zien hoeveel de y-waarde verandert als x van 0 naar 1 gaat, maar we kunnen wel goed zien dat y met 10 stapjes daalt als we van x = 0 naar x = 5 gaan. Maar, het hellingsgetal “a” geeft alleen maar aan hoeveel y daalt als we één stapje naar rechts gaan, en niet 5 stapjes.

Wat we dan moeten doen, is de daling van y delen door het aantal stapjes naar rechts. De daling van y is 10 en we gingen dus 5 stapjes naar rechts. Dan doen we dus: -10/5. Dit heeft als uitkomst -2. Let goed op dat het een daling is, dus er moet echt een min voor de 2! We weten dus dat het hellingsgetal -2 is. De beginwaarde kunnen we weer aflezen bij x = 0, en dat is in dit geval 15. De formule wordt dus: y = -2 * x + 15.

Hiermee zijn we aan het einde gekomen van deze wiskunde samenvatting. Bekijk ook de andere uitlegvideo’s om je goed voor te bereiden op het eindexamen!