1. Lineaire verbanden (verschillende voorstellingsvormen)

Samenvatting voor wiskunde - Verschillende voorstellingsvormen voor lineaire verbanden

Verbanden weergeven en herkennen

Voor het eindexamen is het belangrijk om te begrijpen dat we een verband kunnen weergeven en herkennen op drie verschillende manieren, namelijk:

1. Een woord formule;
2. Een tabel, en;
3. Een grafiek.

Als we 1 van de 3 weten, dan kunnen we de andere twee zelf ook invullen! Als we bijvoorbeeld een woordformule krijgen, dan kunnen we daar zelf een tabel en een grafiek bij maken. Als we alleen een grafiek voor onze neus krijgen dan kunnen we daar een woordformule uit afleiden en een tabel voor invullen. In de video hierboven kijken we dus telkens naar alle drie de manieren van weergeven zodat we de verbanden écht goed begrijpen. We hebben het nu dus over lineaire verbanden. Die kunnen we gemakkelijk herkennen én opstellen. 

De woordformule

Laten we beginnen met de formule van een lineair verband. Deze kunnen we makkelijk herkennen aangezien lineaire verbanden altijd uit dezelfde onderdelen bestaan, namelijk:

Variabele = beginwaarde +- constante verschil * andere variabele

Hierin is de eerste variabele de uitkomst die we berekenen met de formule. Deze uitkomst is weer afhankelijk van wat we invullen voor de andere variabele. Maar hoe zit het dan met de beginwaarde en het “constante verschil”?

Constante verschil en beginwaarde

Het constante verschil dat we invullen bepaalt hoe erg de eerste variabele verandert als we voor de andere variabele een hoger of een lager getal invullen. We gaan dit zo meteen allemaal bespreken aan de hand van voorbeelden, dus maak je geen zorgen!

In de formule hebben we ook nog een beginwaarde of het startgetal. Het woord zegt het natuurlijk al een beetje: dit is de waarde die de eerste variabele heeft als we “beginnen” of “starten”. Dit is het geval als de andere variabele nul is. Als we namelijk nul invullen in de formule, dan krijgen we: variabele  = constante verschil * 0 + beginwaarde, en we weten natuurlijk dat iets keer 0 als uitkomst 0 geeft, dus dan houden we alleen nog maar variabele = begingetal over. 

Als we voor de andere variabele, dus 0 invullen, dan is de waarde van de eerste variabele  gelijk aan de beginwaarde! Dit zal nog duidelijker worden als we zo meteen naar de grafiek gaan kijken. Een voorbeeld van zo’n woordformule kan zijn: Prijs = beginwaarde + constante verschil x aantal uren.

Lineair verband in een tabel

Dan gaan we nu kijken naar hoe we een lineair verband kunnen weergeven en herkennen met een tabel. Laten we dit doen aan de hand van het vorige voorbeeld voor een woordformule, oftewel prijs = beginwaarde + constante verschil x aantal uren. Let op: je begrijpt deze uitleg waarschijnlijk beter als je ook de video hierboven bekijkt!

Als we een tabel hiervoor willen opstellen dan maken we altijd drie rijen. Bovenaan zetten we waarden voor “de andere variabele”, dus de variabele die we zelf invullen. Dit is in ons geval het aantal uren. Meestal schrijven we daar 0 t/m 5 of 10 op. Daaronder zetten we de waarden voor de variabelen die daaruit voortkomen, in ons geval de prijs. En in de onderste rij zetten we de verschillen in waarden voor de de variabele op de onderste rij, dus in ons geval weer de prijs. 

Lineair verband herkennen in een tabel

Maar hoe herkennen we nou dat het een lineair verband is? Stel dat we de volgende waarden voor de prijs krijgen als we het aantal uren invullen voor 0 t/m 5. We zien staan dat als het aantal uren 0 is, dan is de prijs 3. Als aantal uren 1 is dan is de prijs 5, bij aantal uren = 2 staat dat de prijs 7 is, enzovoort. We zien dus dat elke keer dat het aantal uren 1 omhoog gaat, dat de prijs 2 omhoog gaat. Als we zien dat de prijs elke keer met dezelfde hoeveelheid groter of kleiner wordt als het aantal uren eentje groter wordt, dan weten we zeker dat het een lineair verband is. 

In het geval van het voorbeeld in de video gaat de prijs elke keer met 2 omhoog als aantal uren 1 omhoog gaat. Weet je nog dat we het bij de formule hadden over de constante verandering? De constante verandering bepaalt hoeveel de prijs omhoog of omlaag gaat als het aantal uren eentje omhoog gaat. In dit geval is dat 2. De constante verandering is dus 2!

En hoe vonden we ook alweer de beginwaarde? Door te kijken welke waarde de prijs heeft als aantal uren 0 is. Dus, we kijken in de tabel wat de prijs is als het aantal uren 0 is. We zien dat de prijs dan 3 is. De beginwaarde is dus 3. 

Als we de constante verandering en de beginwaarde hebben, dan kunnen we gemakkelijk een formule opstellen; we hoeven het alleen maar in te vullen! We weten dat een lineaire woordformule de vorm heeft van:

Variabele = beginwaarde +- constante verschil * andere variabele

En we weten dus dat de constante verandering in dit geval 2 is en de beginwaarde is 3. Dit vullen we in en we hebben een lineaire woordformule, namelijk:

Prijs = 3+2 x  aantal uren

Lineair verband in een grafiek

We hebben nu gezien dat we een lineair verband kunnen weergeven door een formule te maken of door de waarden in een tabel te zetten. Maar als we het wat visueler willen maken, dan kunnen we ook nog een grafiek tekenen. Laten we eerst de formule gebruiken om de grafiek te maken. 

Eerst moeten we natuurlijk een assenstelsel hebben. Dat kunnen we gemakkelijk maken door eerst een horizontale-as te tekenen met 5 stapjes. Onthoud goed dat de horizontale-as altijd plat op de grond ligt! De variabele op de horizontale-as is altijd het getal dat we zelf veranderen, dus in ons geval staat de horizontale-as voor het aantal uren. Vervolgens tekenen we de verticale-as, die gaat altijd recht omhoog. De verticale-as moet van 0 helemaal t/m 13 gaan. De verticale-as weergeeft altijd de variabele die we niet zelf veranderen, dus in ons geval de prijs. 

Als we in het assenstelsel ons lineaire verband willen tekenen, dan beginnen we altijd bij de beginwaarde. Voor de beginwaarde hebben we net 3 ingevuld in de formule. Ook weten we dat de beginwaarde het punt is waar het aantal uren gelijk is aan nul. Dus, we kijken in het assenstelsel waar op de horizontale-as nul staat, gaan daar 3 omhoog en zetten daar een stip. 

We zouden nu telkens nieuwe waarden voor het aantal uren kunnen invullen in de formule om zo de grafiek te tekenen. Je vult dan eerst 1 in voor het aantal uren, kijkt wat eruit komt voor de prijs en zet daar een stip. Vervolgens doe je dat voor het aantal uren gelijk aan 2, en 3, enzovoort. Maar, dit kost veel tijd en het kan veel makkelijker! 

Lineair verband in grafiek invullen

Het fijne aan een lineaire formule is namelijk dat het altijd een rechte lijn is die telkens dezelfde stapjes omhoog of omlaag neemt. Die stapjes zijn gelijk aan de constante verandering, die in ons geval 2 is. Dit betekent dat elke keer als er bij aantal uren één bijkomt, de prijs twee omhoog gaat. Dus, vanaf het beginpunt aantal uren =o en prijs =3 gaan we één stapje naar rechts naar aantal uren =1 en twee stapjes omhoog voor de prijs. Dus we zetten een stip waar aantal uren 1 is en prijs 5 is. Dit trucje herhalen we steeds opnieuw, omdat het dus een rechte lijn is.

Voor de zekerheid lopen we het nog even na. In de tabel zien we bij aantal uren = 0 staan dat de prijs 3 is. Bij aantal uren = 1 staat dat de prijs 5 is en bij aantal uren =2 staat dat de prijs 7 is. Zo kunnen we de hele grafiek langslopen en zien we dat het klopt!

Lineaire verbanden samengevat

We zien dus dat we een lineair verband kunnen weergeven door een woordformule op te stellen, een tabel in te vullen of een grafiek te tekenen. 

• In een formule herkennen we het lineaire verband door de vorm: Variabele = beginwaarde +- constante verschil * andere variabele
• In een tabel herkennen we het lineaire verband doordat de stapgrootte telkens hetzelfde is en in de grafiek kunnen we het herkennen aan de rechte lijn. 

Hiermee zijn we aan het einde gekomen van deze uitleg voor wiskunde op vmbo kader niveau.