4. Breuken (betekenisvolle situaties)

Samenvatting voor wiskunde - Breuken (betekenisvolle situaties)

Wat is een breuk?

Een breuk is eigenlijk een deelsom van twee getallen. Een voorbeeld van een breuk is 48. In plaats van 48 kunnen we ook zeggen: 4 gedeeld door 8. Die streep tussen de 4 en de 8 is eigenlijk hetzelfde als het gedeeld door teken. Dus 4 / 8 is hetzelfde als 4 : 8. Alleen noemen we de linker som een breuk en de rechter som gewoon een deelsom.

Breuken in betekenisvolle situaties

Dan gaan we het nu hebben over breuken in betekenisvolle situaties. We beginnen met het volgende voorbeeld. Piet komt thuis na een lange dag werken, en heeft onderweg naar huis een taart voor hem en zijn gezin meegenomen. In totaal willen zijn vrouw, zijn drie kinderen en Piet zelf allemaal een even groot stuk. Hoe groot stuk krijgt iedereen van de taart? Let op: in de video hierboven laten we dit duidelijk zien met plaatjes, waardoor je dat waarschijnlijk beter begrijpt.

In deze situatie komen breuken voor. We hebben namelijk 1 taart, en die moeten we verdelen over vijf mensen. Het woord zegt het al: delen. We delen dus 1 taart met 5 mensen. Dus iedereen krijgt 1 / 5, oftewel een vijfde van de taart.

Vlak voordat de vrouw van Piet begint met het eten van haar taart krijgt ze last van haar buik. Ze zegt dat ze de taart niet meer hoeft. En omdat Piet de taart heeft gehaald, mag Piet een extra stukje taart. Piet heeft nu dus ⅕ van de taart van zichzelf en hij heeft ⅕ van de taart gekregen van zijn vrouw. Piet heeft nu dus twee keer ⅕ van de taart. In andere woorden piet heeft ⅕ + ⅕ = ⅖ van de taart.

Wat nou als Piet niet één taart maar twee taarten had meegenomen, en nog steeds iedereen een even groot stuk wilde? Dan moesten er dus twee taarten worden verdeeld over vijf personen. Ze delen dan dus twee taarten met vijf personen, oftewel: iedereen krijgt ⅖ van de taart. In het eerste geval was er één taart en kreeg iedereen ⅕ van de taart. Maar omdat er nu twee taarten zijn, krijgt iedereen twee keer zo veel. Dus iedereen krijgt 2 x ⅕ = ⅖ van de taarten.

Rekenen met breuken

We beginnen met de volgende vraag: Jan moet samen met zijn twee broers 90 euro delen. Ze hebben met z'n drieën afgesproken dat Jan ⅖ deel krijgt. Hoeveel euro krijgt Jan?

We moeten dus berekenen hoeveel ⅖ deel van 90 is. Als we dit willen berekenen is het handig om eerst te berekenen hoeveel ⅕ deel is van 90. En als we berekenen wat ⅕ deel van 90 is, dan bereken je eigenlijk ⅕ keer 90. Zoals we net hebben gezien is ⅕ deel van een taart hetzelfde als één taart delen door 5. Dus ⅕ is eigenlijk hetzelfde als delen door 5. ⅕ 

keer 90 is dus hetzelfde als 90 : 5. En 90 : 5 kunnen we makkelijk berekenen. Dat is namelijk 18.

Nu hebben we dus berekend dat ⅕ van 90 is. Dat is 18. Maar Jan krijgt niet ⅕ deel, maar ⅖ deel. Dus om te weten hoeveel euro Jan krijgt moeten we 18 vermenigvuldigen met twee.

Laten we dat eerst even netjes opschrijven. We willen weten wat ⅖ deel van 90 is. Dat is hetzelfde als ⅖ keer 90. En dat is dan weer hetzelfde als ⅕ van 90 keer twee. En ⅕ van 90, hadden we net berekend, dat is 18. Dus ⅖ van 90 is 18 keer 2, oftewel 36. Dus Jan krijgt 36 euro van de 90 euro.

Breuken optellen

Nu hebben we een goed beeld bij het rekenen met breuken in betekenisvolle situaties. Probeer als je breuken een lastig onderwerp vindt altijd te denken aan een situatie in het echte leven. Met die gedachte in ons achterhoofd gaan we nu bespreken hoe we breuken kunnen optellen en aftrekken. 

De eerste som is 4/6 plus ⅙ . Hier kunnen we als volgt naar kijken. Piet heeft 4/6 van de taart, en krijgt daar nog een stuk van ⅙ bij. Om deze twee breuken op te tellen, hoeven we alleen de bovenkant van beide breuken op te tellen. De bovenkant van de linker breuk is 4 en de andere bovenkant is 1. Dus 4 plus 1 wordt vijf. Dus 4/6 plus ⅙ is gelijk aan ⅚.

De algemene regel voor het optellen van breuken is dus dat we de bovenkanten bij elkaar optellen, en de onderkant blijft hetzelfde.

Breuken aftrekken

Dan gaan we naar de tweede som. 3/7 - 1/7. Hier kunnen we als volgt naar kijken. Piet heeft 3/7 van de taart, en eet dan 1/7 van de taart op. Om deze twee breuken van elkaar af te trekken, hoeven we alleen de bovenkant van beide breuken van elkaar af te trekken. De bovenkant van de linker breuk is 3 en de bovenkant van de rechter breuk is 1. 3 - 1 is 2. En de onderkant blijft hetzelfde. Dus we krijgen 2/7. Dus 3/7 - 1/7 is 2/7.

De algemene regel voor het aftrekken van breuken is dus dat we de bovenkant van elkaar aftrekken, en de onderkant blijft hetzelfde.

Breuken vermenigvuldigen

Laten we kijken naar de eerste som. ⅔ x ⅗ . Het vermenigvuldigen van breuken is eigenlijk heel simpel. We doen de bovenkant keer elkaar, en we doen de onderkant keer elkaar. Dus laten we dat doen. De linker bovenkant is 2, en de rechter bovenkant is 3. 2 x 3 is 6. Dus de nieuwe bovenkant wordt 6. De linker onderkant is 3 en de rechter onderkant is 5. 3 x 5 is gelijk aan 15. Dus de nieuwe onderkant wordt 15. Dus ⅔ x ⅗ is gelijk aan 6/15

De algemene regel voor het vermenigvuldigen van breuken is dus, de bovenkant keer elkaar, en de onderkant keer elkaar.

Breuken delen

Dan gaan we door naar de laatste som. Dat is ⅔ : ⅗ . We gaan hier dus breuken delen door elkaar. Namelijk ⅔ gedeeld door ⅗. Het delen van breuken is iets ingewikkelder. Om breuken door elkaar te delen moeten we het volgende doen. We draaien de rechter breuk om: dat houdt in dat de onderkant de bovenkant wordt en de bovenkant wordt de onderkant. Dus ⅗ wordt 5/3. En dan vermenigvuldig je deze twee met elkaar. Dus we krijgen ⅔ : ⅗ is gelijk aan ⅔ x 5/3. En dan vermenigvuldigen we dus de bovenkant met elkaar. 2 x 5 is gelijk aan 10. En de onderkanten met elkaar. 3 x 3 is 9. Dus we krijgen 10/9. Dus ⅔ : ⅗ is gelijk aan 10/9.

De algemene regel voor het delen van breuken is dus om eerst de rechter breuk om te draaien, en dan de linker breuk te vermenigvuldigen met de nieuwe rechter breuk.