1. Lineaire Verbanden

Samenvatting voor wiskunde - Lineaire verbanden

Lineaire verbanden

Voor het eindexamen is het belangrijk om te begrijpen dat we een verband kunnen weergeven en herkennen op drie verschillende manieren, namelijk:

1. in een formule;
2. in een tabel, en;
3. in een grafiek.

Als we één van de drie weten, dan kunnen we de andere twee zelf ook invullen. Als we bijvoorbeeld een formule krijgen, dan kunnen we daar zelf een tabel en een grafiek bij maken. Als we alleen een grafiek voor onze neus krijgen, dan kunnen we daar een formule uit afleiden en een tabel voor invullen. In deze samenvatting kijken we dus telkens naar alle drie de manieren van weergeven, zodat we de verbanden écht goed begrijpen.

De lineaire formule

Laten we beginnen met de formule van een lineair verband. Deze kunnen we makkelijk herkennen aangezien lineaire verbanden altijd uit dezelfde onderdelen bestaan, namelijk:

y = a * x + b

Soms proberen ze je op toetsen of examens wel eens in de war te brengen en schrijven ze formule andersom, maar dit maakt helemaal niks uit! Ze betekenen gewoon precies hetzelfde. Je krijgt dan:

y = b + a * x

Laten we nu even uitgaan van de eerste vorm, die komt namelijk het meeste voor. Hierin is y de uitkomst die we berekenen met de formule. Deze uitkomst y is weer afhankelijk van wat we invullen voor x. In elke formule hebben we dus een afhankelijke variabele y en een onafhankelijke variabele x. De waarde van y is namelijk afhankelijk van de waarde van x. Maar hoe zit het dan met die andere letters?

In de formule is de letter a het hellingsgetal ofwel de richtingscoëfficiënt. We hebben net al gezegd dat de waarde van y afhankelijk is van de waarde van x. Het hellingsgetal dat we invullen voor a bepaalt hoe erg y verandert als we voor x een hoger of een lager getal invullen.

In de formule is de letter b de beginwaarde of het startgetal. Het woord zegt het al natuurlijk al een beetje: dit is de waarde die y heeft als we “beginnen” of “starten”. Dit is het geval als x nul is. Als we namelijk voor x nul invullen in de formule, dan krijgen we: y = a * 0 + b, en we weten natuurlijk dat iets keer 0 als uitkomst 0 geeft, dus dan houden we alleen nog maar y = b over. Als we voor x dus 0 invullen dan is de waarde van y gelijk aan de beginwaarde! Dit zal nog duidelijker worden als we zometeen naar de grafiek gaan kijken.

Lineaire verbanden in een tabel herkennen

Eerst gaan we kijken hoe we een lineair verband kunnen weergeven en herkennen met een tabel. Als we een tabel hiervoor willen opstellen, dan maken we altijd drie rijen. Bovenaan zetten we waarden voor x; meestal schrijven we daar 0 t/m 5 of 10 op. Daaronder zetten we de waarden voor y die daaruit voortkomen. In de onderste rij zetten we de verschillen in y-waarde. Maar hoe herkennen we nou of het een lineair verband is?

Voorbeeld

Tip: dit voorbeeld is beter te volgen met het plaatje in de video erbij. Stel dat we de volgende waarden voor y krijgen als we “x” invullen voor 0 t/m 5. We zien staan dat als x 0 is, dat y dan 3 is. En als x 1 is, dan is y 5. Bij x = 2 staat dat y 7 is, enzovoort. We zien dus dat telkens als x 1 omhoog gaat, dat y dan 2 omhoog gaat. Als we zien dat y elke keer met dezelfde hoeveelheid groter of kleiner wordt als x eentje groter wordt, dan weten we zeker dat het een lineair verband is.

In dit geval gaat y elke keer met 2 omhoog als x 1 omhoog gaat. Weet je nog dat we het bij de formule hadden over het hellingsgetal? Het hellingsgetal bepaald hoeveel y omhoog of omlaag gaat als x eentje omhoog gaat. In dit geval is dat 2. Het hellingsgetal is dus 2! En hoe vonden we ook alweer de beginwaarde? Door te kijken welke waarde y heeft als x 0 is. Dus, we kijken in de tabel bij x=0 en we zien dat y 3 is. De beginwaarde “b” is dus 3.

Als we een hellingsgetal én de beginwaarde hebben, dan kunnen we gemakkelijk een formule opstellen; we hoeven het alleen maar in te vullen. We weten dus dat een lineaire formule de vorm heeft van:

y = a * x + b

En we weten dat het hellingsgetal “a” in dit geval 2 is en de beginwaarde “b” 3 is. Dit vullen we in, en, hoppa! We hebben een lineaire formule:

y = 2 * x + 3

Lineaire verbanden in een grafiek

We hebben nu gezien dat we een lineair verband kunnen weergeven door een formule te maken of door de waarden in een tabel te zetten. Maar als we het wat visueler willen maken, dan kunnen we ook nog een grafiek tekenen. Laten we eerst de formule gebruiken om de grafiek te maken. Eerst moeten we natuurlijk een assenstelsel hebben. Dat kunnen we gemakkelijk maken door eerst een x-as te tekenen met tien stapjes. Onthoud goed dat de x-as altijd plat op de grond ligt!

Vervolgens tekenen we de y-as: die gaat altijd recht omhoog. De y-as moet van 0 helemaal t/m 25 gaan. Als we zo ver moeten gaan, dan is het niet handig om ook echt 25 streepjes te zetten, dus dan kunnen we beter stapjes van 5 nemen! Let hier dan wel goed op dat je heel nauwkeurig de waarden invult in de grafiek.

Oké, nu hebben we dus het assenstelsel. Als we hierin ons lineaire verband willen tekenen, dan beginnen we altijd bij, je raadt het al, de beginwaarde! Voor de beginwaarde “b” hebben we net 3 ingevuld in de formule. Het startgetal of de beginwaarde is dus 3. Ook weten we dat de beginwaarde het punt is waar x gelijk is aan nul. Dus, we kijken in het assenstelsel waar op de x-as nul staat, gaan daar 3 omhoog en zetten daar een stip. Ook dit voorbeeld is beter te begrijpen door het plaatje in de video te bekijken.

We zouden nu telkens nieuwe waarden voor x kunnen invullen in de formule om zo de grafiek te tekenen. Je vult dan eerst 1 in voor x, kijkt wat eruit komt voor y, en zet daar een stip. Vervolgens doe je dat voor x=2, x=3, enzovoort. Maar, dit kost veel tijd en het kan veel makkelijker! Het fijne aan een lineaire formule is namelijk dat het een altijd een rechte lijn is die telkens dezelfde stapjes omhoog of omlaag neemt. Die stapjes zijn gelijk aan het hellingsgetal “a”. Bij deze formule weten we dat het hellingsgetal 2 is. Dit betekent dat elke keer als er bij x één bijkomt, y twee omhoog gaat. Dus, vanaf het beginpunt x=o en y=3 gaan we één stapje naar rechts, naar x=1, en twee stapjes omhoog voor y.

We zetten een stip waar x 1 is en y 5 is. Dit trucje herhalen we steeds, omdat het dus een rechte lijn is. We gaan steeds 1 stapje naar rechts en 2 omhoog. Let hier alleen wel op, want we hebben bij de y-as niet elk stapje opgeschreven. We gaan steeds 5 omhoog in plaats van 1. Je moet dus zelf goed bepalen waar het volgende punt steeds zit. Bij x=2 is y bijvoorbeeld 7. Dan weten we dat we een punt moeten zetten net iets onder het midden tussen 5 en 10. Bij x=3 tellen we er weer 2 bij op en komen we dus op y=9. Zo gaan we steeds door: 1 naar recht, 2 omhoog. We krijgen dan een steile lijn.

We hadden natuurlijk ook met behulp van de tabel de grafiek kunnen tekenen. Voor de zekerheid lopen we het nog even na. In de tabel zien we bij x=0 staan dat y=3. Bij x=1 staat dat y=5 en bij x=2 staat dat y=7. Zo kunnen we de hele grafiek langslopen en zien we dat het klopt!

Dit is het einde van deze samenvatting. Leer ook met de andere uitlegvideo's als onderdeel van je examentraining!