Wiskunde

3. Wortels en machten

Gegeven door:
Abel de Leeuw
Beschrijving Begrippen

In deze video met uitleg voor wiskunde vertellen we je over wortelverbanden en machtsverbanden. Je leert dat worteltrekken het omgekeerde van iets in het kwadraat doen is. Ook leer je hoe je een wortel invult in een formule en een tabel. Binnen de machtsverbanden gaan we kijken naar het grondtal, exponent en de constante waarmee vermenigvuldigd wordt. Je kunt deze video gebruiken als onderdeel van je examentraining, of natuurlijk om te leren voor andere toetsen!

Wortel formule

y = de wortel van x

Standaarformule van kwadraat

X^n

Grondgetal

x

Exponent

Het aantal keren dat het grondtal in een machtsverheffing met zichzelf vermenigvuldigd wordt om een resultaat te krijgen

Vermenigvuldigen met een constant getal

y = a keer x^n

Assenstelsel

Een stelsel met een x-as en een y-as, waarop getallen staan. In een assenstelsel kun je coördinaten aflezen

Constant getal

Een getal waarvan de waarde niet vaststaat, maar die later kan worden vastgesteld

Grondtal

Het getal waarop een berekening gebaseerd is

Kwadraat

Een benaming voor de tweede macht van een getal, wat je krijgt door een getal met zichzelf te vermenigvuldigen

Machten

Machten worden gebruikt om sommen of formules korter op te schrijven. Je schrijft een macht schuinboven het grondgetal. In een som '3 tot de macht 2' is dat bijvoorbeeld hetzelfde als 3x3 = 9

Machtsverband

Een formule waar een macht in staat. De formule die hierbij hoort is y = a * x^n

Wortel

Het tegenovergestelde van een kwadraat: bij worteltrekken wil je weten welk getal je met zichzelf kunt vermenigvuldigen om de uitkomst te krijgen. Je gebruikt het volgende symbool: √

Wortelformule

Een formule waarmee de oplossingen van een vergelijking kunnen worden gevonden. De simpelste wortelformule is als volgt: y = de wortel van x

Wortelverband

Hoort bij een wortelformule. Je kunt wortelverbanden bijvoorbeeld gebruiken bij formules die gebaseerd zijn op de stelling van Pythagoras

A1. Lineaire Verbanden

A2. Exponentiële verbanden

A3. Overige verbanden

Samenvatting voor wiskunde - Wortels en machten


Wat zijn wortels?

Een wortel is eigenlijk gewoon het omgekeerde van een kwadraat. Als we het kwadraat van 3 nemen, dan doen we 3 keer 3, en dat is 9. Als we vervolgens de wortel van 9 nemen, dan is dat 3. Als we de wortel van een getal nemen, dan vragen wij ons dus af welk getal we keer zichzelf hebben moeten doen, om bij het getal te komen dat onder de wortel staat. Als we de wortel van 16 willen weten, dan vragen wij ons dus af: wat keer zichzelf is 16? Dat kunnen we weten, 4 keer 4 is namelijk 16!


Wortelformules

De simpelste wortelformule die we dus kunnen maken is: y = de wortel van x. Laten we daar de tabel eens voor invullen. Bij is x = 0 kijken we dus wat de wortel van 0 is, en dat is natuurlijk 0 - want 0 keer 0 is 0. Bij x = 1 kijken we wat de wortel van 1 is, en dat is 1: want 1 keer 1 is 1. Hierna hebben we de rekenmachine nodig. We vullen dan de wortel van 2 in, dan de wortel van 3, de wortel van 4 en de wortel van 5. We krijgen dan de volgende waarden (zie video).


Laten we er nog even een grafiekje bij tekenen. We tekenen een assenstelsel van 5 hokjes breed en 3 hokjes hoog. Vervolgens zetten we de punten in het assenstelsel. We kunnen dus makkelijk de punten 0,0 en 1,1 invullen. Daarna moeten we heel goed kijken waar we de puntjes zetten. Het ziet er dan zo uit (zie video).


Laten we dit nog een keertje doen met een iets ingewikkeldere wortelfunctie. We krijgen nu y = √5x. Bij is x = 0 krijgen we weer 0, want 5 keer 0 is 0 en de wortel van 0 is 0. Bij x = 1 moeten we deze keer al de rekenmachine gebruiken, want we doen de wortel van 1 keer 5, en dat is 2,23. Bij x = 2 vullen we op onze rekenmachine in: de wortel van 5*2, en dat is 3,16. Zo vullen we de hele tabel in. Vervolgens kunnen we daar weer op dezelfde manier als net een grafiek bij maken. Dit keer hebben we een assenstelsel van 5 bij 5 nodig. Vervolgens vullen we rustig alle punten in die in onze tabel staan, en dan hebben we een mooie wortel-grafiek!


Machtsverbanden

Genoeg wortels voor nu. Laten we snel verder gaan met de machtsverbanden. Bij machtsverheffen spreken we ook wel van het kwadraat. En, zoals we net al kort besproken hebben, doen we bij een kwadraat een getal keer zichzelf. Als we dus het kwadraat van 5 nemen, dan doen we 5 keer 5, en dat is 25.


In deze vorm zou de standaardformule er dus zo uit zien: y = xn^n , waarbij we x het grondtal noemen en n het exponent. Maar, we kunnen nog wat letters toevoegen. We kunnen namelijk nog vermenigvuldigen met een constant getal. Dit constante getal noemen we dan a, en de formule wordt dan: y = a * xn^n.


Ook zouden we er nog een constant getal bij op kunnen tellen. Dit getal schuift de grafiek dus enkel omhoog of omlaag. Laten we dit getal even c noemen. We krijgen dan y = c +a * xn^n. Laten we kijken naar een voorbeeld.


Voorbeeld

Stel dat we x tot de macht 3 doen, dat telkens met 5 vermenigvuldigen en daar ook nog 20 bij optellen. We vullen dan voor c dus 20 in, voor a vullen we 5 in en als exponent nemen we 3. We krijgen dan de formule: y = 20 + 5 * x3^3 . Laten we hier weer een tabel voor maken voor x van 0 tot en met 5. Bij x = 0 weten we dat y gelijk is aan 20, aangezien 5 keer 0 tot de macht 3 natuurlijk 0 is. We kunnen zonder rekenmachine uitrekenen wat er bij x = 1 moet komen te staan. We doen dan namelijk 20 plus 5 keer 1 tot de macht 3, en 1 tot de macht drie is 1 keer 1 keer 1, wat natuurlijk gewoon 1 is. Dus we doen 20 + 5 * 1, wat 25 is.


Zelfs x = 2 kunnen we oplossen zonder rekenmachine. We doen dan 20 + 5 * 2 tot de macht 3. En 23 is 2*2*2. 2*2 is 4 en 2*4 is 8. Dus we doen 20 + 5 * 8. 5*8 is 40. Dus we doen 20 + 40, en dat is 60. We vullen dus voor y 60 in. Laten we x = 3 oplossen met de rekenmachine. We vullen in 20 + 5 keer 3 tot de macht 3, en dat geeft 155. Daarna doen we 20 + 5 * 4 tot de macht 3, en dat geeft 340. Tenslotte doen we nog 20 + 5 keer 5 tot de macht 3, en dat geeft 645.


We kunnen nu weer een grafiekje maken. Allereerst tekenen we een assenstelsel voor x = 0 tot en met 5. Voor de y as kunnen we zien dat we helemaal tot 700 moeten. Vervolgens zetten we stippen bij 20, 25, 60, 155, 340 en 645, en verbinden die met elkaar tot een we een mooie soepele lijn hebben.


Tot zover de uitleg over wortels en machten. Bekijk ook de andere kennisclips om je goed voor te bereiden op het eindexamen wiskunde of andere toetsen!