4. Exponentiële verbanden

Samenvatting voor wiskunde - Exponentiële verbanden

Hoe herken je een exponentieel verband?

In deze samenvatting gaan we het hebben over exponentiële verbanden. Een exponentieel verband kunnen we weer opstellen en herkennen op drie verschillende manieren, namelijk in een formule, een tabel en een grafiek. Laten we beginnen met de formule. Ook een exponentieel verband kunnen we makkelijk herkennen aan z’n standaardvorm die een aantal vaste onderdelen heeft, namelijk: y = a * b$^x$. Bij een exponentieel verband hebben we dus altijd te maken met een kwadraat. Dit betekent ook dat we niet te maken hebben met een rechte lijn die telkens met dezelfde hoeveelheid stijgt of daalt, maar met een lijn die steeds harder stijgt of daalt. Bij elk stapje naar rechts doen we dus niet plus of min een getal, maar vermenigvuldigen we steeds met een getal, die we de factor of groeifactor noemen.

Formule voor exponentiële groei

Voor het eindexamen schrijven we de formule vaak net wat anders op. Maar, geen paniek, deze manier is eigenlijk makkelijker te onthouden. De formule verandert in principe ook niet, we schrijven alleen andere letters op om duidelijker aan te geven waar ze voor staan. Wat we dan krijgen is: N = b * g$^t$. Hierin staat de “b” weer voor de beginwaarde. De “g” staat deze keer voor de groeifactor. Waar we normaal gesproken altijd de x invullen om een waarde van y te krijgen, vullen we in deze formule de “t” in om een waarde voor N te krijgen. De t staat nu voor tijdseenheid. Elke waarde voor “t” is nu dus een tijdstip. We hebben de tijdstippen t = 1, t = 2, enzovoort. Bij elk tijdstip “t” hoort een bepaalde waarde voor N. Op tijdstip t = 0 zitten we dus voor N weer op de beginwaarde. We beginnen bij de beginwaarde “b”, en elke keer als we een stapje naar rechts gaan vermenigvuldigen we de vorige waarde met de groeifactor “g”.

Exponentieel verband: voorbeelden

Laten we eens naar een voorbeeld kijken. We hebben de volgende formule: N=100 * 1,25$^t$. We weten dus dat de beginwaarde 100 is, want dat staat op de plek van “b”, en dat de groeifactor “g” 1,25 is. Hiermee kunnen we dan ook heel gemakkelijk een tabel invullen. Je kunt dit zien in de video. Op de bovenste rij vullen we de waarden 0 t/m 5 in voor “t”. Nou, we weten dat we bij de beginwaarde zitten als t = 0, dus daar vullen we 100 in voor N. Ook weten we dat we bij elk stapje naar rechts, ofwel elke keer als er bij “t” 1 bij komt, dat we de waarde telkens moeten vermenigvuldigen met de groeifactor “g”, die in dit geval 1,25 is.

Dus, bij t = 1 doen we 100 * 1,25 en dat is 125. Als we nu willen weten wat de waarde voor N is bij t = 2, dan moeten we de waarde bij t = 1, 125 dus, weer vermenigvuldigen met de groeifactor. Bij t = 2 is N dus 125 * 1,25, en dat komt uit op 156,25. Dit blijven we doen, en dan krijgen we bij t = 3 voor N 195,31, bij t = 4 244,14 en bij t = 5 305,18. Let hierbij op dat je goed afrondt!

Voorbeeld 2

Nu gaan we het eens andersom doen. We krijgen de volgende tabel, met “t” voor 0 t/m 10 en de bijbehorende waarden van N. Laten we eerst even proberen een formule op te stellen die hoort bij deze tabel. We beginnen natuurlijk weer met de standaardvorm: N = b * g$^t$. In de tabel kunnen we meteen zien wat de beginwaarde “b” is. Die staat namelijk altijd bij t = 0. We lezen dus in de tabel af dat de beginwaarde 20 is. Dit kunnen we dan weer meteen invullen in onze formule.

We krijgen dan: N = 20 * g$^t$. Vervolgens moeten we nog de groeifactor “g” vinden. We weten dat de groeifactor het getal is waarmee we de waarden voor N steeds vermenigvuldigen als we voor “t” 1 stapje naar rechts gaan. Dus hoe vinden we deze waarde met de tabel?

Daarvoor moeten we steeds de nieuwe waarde delen door de oude waarde. Als we van t = 0 naar t = 1 gaan, dan doen we dus 26 gedeeld door 20, en daar komt 1,3 uit. Van t = 1 naar t = 2 doen we 33,8 gedeeld door 26 en dat is ook 1,3! Nou, nog ééntje dan. Van t = 2 naar t = 3 doen we 43,9 gedeeld door 33,8, en je raadt het al, dat is ook 1,3. We zien dus dat we bij elk stapje naar rechts steeds vermenigvuldigen met dezelfde factor, en dat is in dit geval 1,3. Dit kunnen we ook weer in de formule invullen. We krijgen dan: N = 20 * 1,3$^t$ Nu weten we dus hoe we bij een exponentieel verband met een formule een tabel kunnen opstellen en andersom.

Voorbeeld 3

Om de grafiek te tekenen is het bij een exponentieel verband handig om de tabel te gebruiken, daaruit kunnen we namelijk makkelijk de waarden aflezen en invullen in de grafiek. Allereerst hebben we natuurlijk een assenstelsel nodig. Op de horizontale, platliggende, lijn tekenen we “t” van 0 t/m 10. Voor de verticale, rechtopstaande, lijn moeten we even in de tabel kijken hoe ver we moeten gaan. We zien bij t = 10 een waarde voor N staan van 276, dus het is handig om 300 als hoogste waarde te nemen op onze verticale as. Als we de grafiek ook 10 hokjes hoog willen maken, moeten we telkens stapjes van 30 omhoog nemen. Het assenstelsel ziet er dan zo uit (zie video).

Nu kunnen we met de waarden uit de tabel de punten in de grafiek invullen. Probeer dit zo zorgvuldig mogelijk te doen! Nou, daar gaan we. Bij t = 0, de beginwaarde, zetten we een punt bij N=20. Bij t = 1 zetten we een punt bij 26. Bij t = 2 33,8 , bij t = 3 43,9 en zo gaan we door totdat we al deze stippen in ons assenstelsel hebben staan. Nu kunnen we de punten met elkaar verbinden om een mooie grafiek te krijgen.

Hiermee zijn we aan het einde gekomen van deze samenvatting. Bekijk ook de andere uitlegvideo’s voor wiskunde om je goed voor te bereiden op het eindexamen!