4. Berekenen van hoeken

Samenvatting voor wiskunde - Hoeken berekenen

Hoeken berekenen met sinus, cosinus en tangens

In een rechthoekige driehoek kun je de grootte van een hoek berekenen door gebruik te maken van de tangens, de sinus en de cosinus. In de video kijken we naar driehoek ABC, waarbij hoek B de rechte hoek is. Deze samenvatting is beter te begrijpen wanneer je ook de video bekijkt.

Stel dat we willen berekenen hoe groot hoek A is. Hoek A noemen we ook wel de hellingshoek, omdat hij aangeeft wat de helling is van deze driehoek. Voordat we deze hoek gaan berekenen, gaan we eerst even kijken naar de namen van de zijden van de driehoek. Als je hoek A wil berekenen, dan kijk je vanuit hoek A naar de andere zijden. Als je vanuit hoek A naar zijde BC kijkt, dan kijk je naar de zijde die tegenover de hoek ligt. Deze zijde noem je de overstaande zijde van hoek A. De zijde tegenover de rechte hoek, dat is in dit geval zijde AC, noemen we de schuine zijde. De overgebleven zijde, dat is AB, is de aanliggende zijde. Deze zijde ligt altijd aan de hoek vast waar vanuit je kijkt (dus hoek A) en zit vast aan de hoek van 90 graden.

Formules sin, cos, tan

Als je hoek A wil berekenen, dan kun je kiezen uit drie opties: de tangens, de sinus en de cosinus. Afhankelijk van de gegevens die je hebt, kies je voor 1 van deze manieren. Hierbij gelden de volgende formules:

Tan (hoek A) =

Sin (hoek A) =

Cos (hoek A) =

Stel dat we de volgende gegevens hebben: zijde BC = 4 en zijde AB = 5. Als we hoek A willen berekenen, dan moeten we een keuze maken uit tan, sin of cos. We hebben de overstaande en aanliggende zijde, dus we maken gebruik van de tangens. Je krijgt dan: Tan (hoek A) = ⅘. Nu hebben we hoek A nog niet uitgerekend. Daarvoor doen we het volgende:

Hoek A = tan-1(4/5) = 38,7 graden.

Tan-1 krijg je door op je rekenmachine shift tan te doen. Nu hebben we het antwoord gevonden, blijkbaar is hoek A dus 38,7 graden.

Stel dat we andere gegevens hadden gekregen, bijvoorbeeld AB = 6 en AC = 8. Als we hoek A willen berekenen, dan gaan we eerst weer kijken of we hier tan, sin of cos kunnen gebruiken. We hebben nu de schuine zijde en de aanliggende zijde, dus moeten we gebruik maken van de cosinus. Je krijgt dan: Cos (hoek A) = 6/8. Om hoek A te berekenen maak je nu gebruik van cos-1, net als net bij de tangens. Je krijgt dan:

Hoek A = cos-1(6/8) = 41,4 graden.

Ezelsbruggetje sinus, cosinus en tangens

Als je de regels voor sinus, cosinus en tangens makkelijk wil onthouden, maak dan gebruik van het volgende ezelsbruggetje:

SOS CAS TOA.

Sinus  = overstaand / schuin

Cosinus = aanliggend / schuin

Tangens = overstaand / aanliggend

Stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras is misschien wel de bekendste stelling uit de wiskunde. Met de stelling van Pythagoras kun je de lengte van één van de zijden van een driehoek berekenen als je de andere twee zijden weet. Let op: Pythagoras geldt alleen in een rechthoekige driehoek, net als SOS CAS TOA.

Laten we weer even kijken naar driehoek ABC, waarbij geldt dat hoek B de rechte hoek is (zie video). In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras:

AB$^2$ +BC$^2$ =AC$^2$

Oftewel: doe de lengte van de rechthoekszijden (dat zijn de zijden die aan de rechte hoek vastzitten) in het kwadraat en tel de antwoorden bij elkaar op. Je krijgt dan hetzelfde als wanneer je de schuine zijde in het kwadraat doet. We kunnen de stelling van Pythagoras gebruiken om de lengte van één van de zijden uit te rekenen.

Stel dat we de volgende situatie hebben: zijde AB = 3 en zijde BC is 4. We kunnen AC berekenen door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras. Je krijgt dan:

3$^2$ + 4$^2$ = AC$^2$

9 + 16 = AC$^2$

AC$^2$ = 25

Dus AC = √25 = 5

Tot zover de samenvatting over het berekenen van hoeken. Vergeet niet om ook de andere uitlegvideo’s voor wiskunde te bekijken, zodat je straks goed voorbereid bent op het eindexamen!