Samenvatting voor bedrijfseconomie - Interest (reeks gelijke bedragen)
Eindwaarde berekenen
We weten ondertussen dat samengestelde interest betekent dat we rente op rente rekenen. Als er één beginbedrag K wordt ingelegd, en we vervolgens daar een aantal perioden rente over ontvangen, dan is eindwaarde met de samengestelde interest redelijk makkelijk te berekenen. De formule is namelijk En = K x (1+i)n, dus gewoon het beginbedrag keer de interest tot de macht van het aantal jaren.
Maar, wat nou als we meerdere perioden inleggen? Dan krijgen we dus samengestelde interest over die losse bedragen, maar uiteindelijk niet evenveel voor elk bedrag, aangezien het ene bedrag er langer op staat dan het andere bedrag. Laten we eens even naar een voorbeeld kijken.
Een rente
Stel we leggen aan het begin van elk jaar een bedrag van €1000 in voor drie jaar lang en krijgen een interestpercentage van 5%. Wat is de eindwaarde dan na drie jaar?
Allereerst even goed om het over die reeks van gelijke bedragen te hebben, die €1.000 dus. Dit wordt namelijk wel eens een rente genoemd. Geen idee waarom, maar als er dus een reeks van gelijke bedragen is aan inleg, dan noemen ze dat soms dus een rente. Niet schrikken dus als je dat een keer ziet staan, maar het kan verwarrend zijn, aangezien rente ook gewoon wordt gebruikt om interest aan te geven, dus het geld dat je ontvangt voor het beschikbaar stellen van een lening of spaargeld. In deze samenvatting zullen we dit dus gewoon het bedrag of de inleg noemen. We geven dit aan met hoofdletter B, dus B=1000. Interest i is 0,05 en n = 3 jaar.
Eindwaarde berekenen: voorbeeld
Oké laten we het eerst gewoon even uittekenen en uitschrijven. Let op: je kunt dit visueel zien in de video hierboven! Je ziet de drie jaren, en aan het begin van elke jaar leggen we 1000 in. We willen de eindwaarde na drie jaar weten, dus E3. We kunnen dit doen door te kijken hoeveel elke aparte inleg waard is aan het einde. We kijken eerst naar de eerste 1000. We gaan daar drie jaar interest over krijgen, en we weten ondertussen hoe we dat kunnen berekenen. Namelijk, 1000 x 1,053.
Alleen deze keer hebben we later nog meer bedragen ingelegd. Dus, we tellen er dan nog bij op: 1000 x 1,052, en 1000 x 1,051. Je ziet dat alleen de macht van het aantal jaren van elkaar verschilt bij de drie bedragen. Onze eindwaarde is dan €3.310,13. Deze methode kan je ook gebruiken als de inleg telkens andere bedragen zijn. Dit had ook gewerkt als de tweede inleg 2000 was en de derde 500 bijvoorbeeld.
Formule eindwaarde berekenen
Maar, stel we hebben heel veel keer ingelegd over de jaren heen, dan is het een beetje onhandig om dit helemaal uit te schrijven en bij elkaar op te tellen. Dan is het veel handiger om hier een formule voor te hebben. Die bestaat, maar let op, deze werkt alleen maar als het gaat om een reeks gelijke bedragen waar evenveel tijd tussen zit. In ons voorbeeld was dit het geval, dus die kunnen we gebruiken. De formule ziet er als volgt uit:
We hebben al besproken wat B is. Ook r is niet zo spannend, dat is gewoon 1+i, zodat je een groeifactor krijgt. In ons voorbeeld is dat dus 1,05, omdat het interestpercentage i 5% is. Je ziet ook a staan. Het is een beetje lastig om deze precies uit te leggen, maar uiteindelijk is het doorgaans vrij simpel. Dit is namelijk de r tot de macht iets, die hoort bij de laatste inleg. In dit geval is dat dus 1,051. Stel we hadden de laatste inleg van 1000 niet gedaan, dan was het 1,052 geweest. “a” is dus de rx die hoort bij de laatste inleg.
Oké, we krijgen dan dus:
En als we dat even invullen op onze rekenmachine, dan zien we dat de uitkomst is dat En gelijk is aan 3310,13. We zien dus dat hier hetzelfde uitkomt als bij de eerste handmatige methode!
Contante waarde berekenen
Het kan ook zijn dat we willen weten wat de contante waarde is van een reeks bedragen en de rente daarover. Dit kan bijvoorbeeld handig zijn als we weten dat we de komende drie jaar aan het eind van elk jaar een bepaald bedrag willen opnemen en willen weten wat we daar nu voor moeten inleggen. We gaan namelijk rente ontvangen over het bedrag dat we nu inleggen, dus we hoeven minder in te leggen dan gewoon drie keer de bedragen die we gaan opnemen. Echter ontvangen we natuurlijk na elke keer dat we iets opnemen steeds rente over een kleiner bedrag.
Contante waarde berekenen: voorbeeld
Goed, laten we dezelfde gegevens opnieuw gebruiken, dus het bedrag B is 1000, al is het dit keer een bedrag dat we opnemen in plaats van inleggen, i is 5%, en het aantal jaar n is 3. En, we willen nu dus de contante waarde weten van het bedrag dat we vóór het eerste jaar moeten inleggen. Laten we de contante waarde Cw noemen.
We kunnen dit ook weer op de handmatige manier doen. Nu moeten we juist terug rekenen, dus; hoeveel moeten we inleggen om het bedrag te krijgen dat we later willen hebben, gegeven dat we rente krijgen over het bedrag dat we nu inleggen? We gaan dit dan weer terugrekenen voor alle bedragen. Eerst pakken we het bedrag na 1 jaar. Dat is dan 1000 keer de groeifactor r, in dit geval 1,05, tot de macht min 1. Dus eigenlijk 1000 keer 1 gedeeld door 1,05. We krijgen dan dus een bedrag dat kleiner is dan 1000, en als we dat nu inleggen, dan hebben we na 1 jaar precies 1000, omdat we rente hebben gekregen.
Voor het tweede bedrag krijgen we 2 jaar rente. Daarbij krijgen we dus 1000 keer 1,05 tot de macht min 2. En voor het bedrag na 3 jaar krijgen we 1000 keer 1,05 tot de macht min 3. Als we dat bij elkaar optellen krijgen we €2723,25. Dit is dus de contante waarde van wat we nu moeten inleggen om aan het eind van elk jaar €1000 te kunnen opnemen, voor drie jaar lang.
Formule constante waarde
Deze contante waarde kunnen we ook weer berekenen met een formule, waardoor we niet alle bedragen handmatig hoeven op te schrijven, wat dus voornamelijk handig is als het aantal jaar n hoog is. Nu denk je misschien, moet ik dan nu nóg zo’n ingewikkelde formule uit mijn hoofd leren? Nee, dat hoeft niet, want we gebruiken gewoon dezelfde formule als voor de eindwaarde:
Er is eigenlijk maar één ding dat hier wezenlijk anders is, dus dat moet je goed onthouden, en dat is dat de a zometeen een negatieve macht krijgt. Laten we het even invullen. B is gewoon weer 1000. De r is 1,05 en r tot de macht n is 1,05 tot de macht 3. En wat was a ook alweer? Dat was de r tot de macht iets, dus r tot de macht x, die hoort bij het laatste bedrag. Ook bij deze formule is dat weer zo. We zien dan als we kijken naar het laatste bedrag, dat we dit vermenigvuldigen met 1,05 tot de macht min 3. De a is in dit geval dus 1,05 tot de macht min 3. Goed, we krijgen dan dus:
En als we dat invullen op de rekenmachine komen we uit op €2723,25, wat weer hetzelfde is als de uitkomst van de handmatige methode.
Samenvattend
Dus even samenvattend, we kunnen een eindwaarde van een reeks gelijke bedragen handmatig uitrekenen door telkens de ingelegde bedragen te vermenigvuldigen met de groeifactor tot de macht van het aantal jaar dat er rente overheen komt. Ook kan dit uitgerekend worden door middel van de formule:
Waarbij a dus de groeifactor r tot de macht x is die hoort bij het laatste bedrag, meestal dus gewoon r tot de macht 1, tenzij er niet tot het laatste jaar ingelegd wordt. Als we de contante waarde willen berekenen doen we hetzelfde bij de handmatige methode, alleen nu krijgt de groeifactor steeds een negatieve macht omdat we terugrekenen. De formule voor de contante waarde Cw is ook hetzelfde als voor de eindwaarde. Alleen moet je er dus weer even goed op letten dat deze r tot de macht x hoort bij het laatste bedrag, dus deze krijgen een negatieve macht, meestal r tot de macht min n.
Daarmee zijn we aan het einde gekomen van deze samenvatting. Succes met leren voor het eindexamen bedrijfseconomie en/of andere toetsen, en tot de volgende keer!
