3. Battle of the sexes

Samenvatting voor economie - Battle of the Sexes 

Meerdere Nash-evenwichten

Bij de spelsituatie die we nu gaan bespreken hebben we te maken met meerdere Nash-evenwichten zonder dat er een duidelijke oplossing is. Een stelletje, Nina en Alex, heeft afgesproken om samen iets te gaan doen op zondag. Nina wil graag naar de film, terwijl Alex heel graag voetbal wil gaan kijken. Nina houdt meer van films kijken, terwijl Alex meer van voetbal kijken houdt. Echter, willen ze liever iets samen doen dan gescheiden. Hierdoor ontstaat er niet een duidelijke dominante strategie. Zie de opbrengstenmatrix in de video hierboven.

Zowel de rijspeler Nina als de kolomspeler Alex kan kiezen voor voetbal of de bioscoop. 

De eerste uitkomst is altijd van de rijspeler en de tweede uitkomst van de kolomspeler. Voor Nina geldt dat ze liever naar de bioscoop wil dan naar voetbal, gegeven dat ze samen met Alex is. Voor Alex geldt precies het omgekeerde: hij gaat dus liever samen met Nina naar voetbal dan naar de bios. Apart van elkaar ergens heen gaan vinden ze niet leuk, dus dat geeft een opbrengst van 0 voor beide. 

Nash-evenwicht: voorbeeld

Een Nash-evenwicht is een situatie waarbij het voor geen enkele speler voordelig is om van strategie af te wijken, gegeven een keuze van een ander. Laten we nu alle opties afgaan om te kijken welke uitkomsten een Nash-evenwicht zijn. Bekijk de video hierboven om alles goed te begrijpen.

1. Is de eerste optie (linksboven) een Nash-evenwicht? Het antwoord is ja. Voor Nina geldt namelijk dat zij niet gaat wisselen van voetbal met Alex, met een opbrengst van 1, naar de bios zonder Alex, met een opbrengst van 0. Alex gaat ook niet wisselen van zijn keuze. Hij wil het liefst voetbal kijken samen met Nina, met een opbrengst van 2. Als hij wisselt naar de bios terwijl Nina naar voetbal gaat, heeft hij namelijk een opbrengst van nul. 

2. Is de tweede optie (rechtsboven) dan een Nash-evenwicht? Nee. Het is vrij duidelijk te zien dat geen van beiden blij is met de keuze om los van elkaar iets te gaan doen. Alex heeft hier een reden om te wisselen naar voetbal en Nina heeft een reden om te wisselen naar de bios. Dit is dus geen Nash-evenwicht. 

3. Hetzelfde geldt voor optie 3 (linksonder). Voor beiden is het beter om te veranderen van keuze, omdat ze dan beiden een hogere opbrengst kunnen krijgen. 

4. Is de vierde optie (rechtsonder) een Nash-evenwicht? Ja, om dezelfde redenen als optie 1 (linksboven). Het verschil is alleen dat deze keuze beter uitpakt voor Nina, omdat zij het liefst samen naar de bios gaat. Maar, ook hier hebben beiden geen reden om te wisselen, omdat ze dan een opbrengst van nul zouden krijgen.  

Linksboven en rechtsonder zijn Nash-evenwichten. Een Nash-evenwicht geeft niet noodzakelijk het hoogste resultaat. Het is niet helemaal duidelijk of zij nou voor optie 1 of voor optie 4 kiezen, gegeven dat Nina liever naar de bioscoop gaat en Alex liever voetbal wil kijken. 

Best response strategie

Bij het zoeken van Nash-evenwichten wordt gebruikgemaakt van de ‘best response strategie’. De vraag voor beiden is: “Wat is mijn beste antwoord bij elke keuze van de ander?" Er is geen dominante strategie, wat kenmerkend is aan dit voorbeeld. Omdat deze situatie geen duidelijke oplossing kent, kan deze doorbroken worden door gebruik te maken van verzonken kosten.

Verzonken kosten

Verzonken kosten zijn kosten die nooit meer worden terugverdiend als de activiteit waarvoor de kosten zijn gemaakt niet doorgaat. Alex heeft al een tijdje terug als verrassing twee kaartjes gekocht om de voetbalwedstrijd live in het stadion te gaan bekijken. Die kaartjes kan hij niet meer inwisselen, en het is te laat om ze te verkopen. Daardoor verandert de opbrengstenmatrix voor Alex en ook de uitkomst van de situatie. Je kunt dit weer zien in de video.

Enkel Nash-evenwicht

We tellen er voor Alex dus 1 punt bij voor voetbal, zowel met als zonder Nina, en we trekken het punt er vanaf bij de bioscoop. Alex krijgt door de gekochte kaartjes een dominante strategie. Hij zal altijd kiezen voor de voetbalwedstrijd, ongeacht wat Nina zal doen. Hierdoor ontstaat er een enkel Nash-evenwicht. 

Voor optie 1 linksboven geldt dat Nina nog steeds liever met Alex voetbal gaat kijken dan alleen naar de bioscoop. Maar, voor optie 4 rechtsonder geldt nu dat Alex niet meer liever naar de bioscoop gaat met Nina dan naar voetbal, door de verzonken kosten die hij heeft gemaakt voor het kopen van de voetbalkaarten. 

Alex kiest nu dus altijd voor voetbal, omdat de opbrengst hiervoor altijd hoger is dan voor de bios, door die kaartjes die hij gekocht heeft. Kijk maar bij zijn opbrengsten: het is 3 of 1 voor voetbal terwijl naar de bios 0 of zelfs -1 oplevert voor Alex. De dominante strategie is voor Alex dus kiezen voor voetbal. 

Nina heeft geen dominante strategie, aangezien ze niet één keuze heeft die altijd het beste is. Stel Alex zou namelijk voor de bioscoop kiezen, dan zou de bioscoop het best voor haar zijn, maar als Alex voor voetbal kiest, dan is voetbal weer het beste. Geen dominante strategie voor Nina dus.

Maar, er is wel één Nash-evenwicht. Laten we die eens zoeken. Stel we beginnen rechtsonder. Hier heeft Nina 2 en Alex nul. Nina heeft geen reden tot wisselen, maar Alex wel. Als Alex namelijk voetbal kiest, heeft hij 1, wat we zien in het hokje linksonder. Is dit dan een Nash-evenwicht? Nee, nu heeft Nina reden om te wisselen. Als ze namelijk voetbal kiest, dan heeft ze 1 in plaats van nul. En nu linksboven dan? Juist, nu hebben ze beiden geen reden meer tot wisselen. Als Alex wisselt heeft hij nul in plaats van 3 en als Nina wisselt heeft ze nul in plaats van 1. 

Invloed van verzonken kosten

Verzonken kosten kunnen dus invloed hebben op de uitkomst van een spel, zowel op een positieve als een negatieve manier. De positieve kant van verzonken kosten kan zijn dat je erop kan vertrouwen dat iemand een bepaalde keuze maakt en daarmee misschien bepaalde afspraken nakomt. 

In het voorbeeld zorgden de verzonken kosten ervoor dat Alex sowieso voor voetbal zou kiezen; heel voorspelbaar dus. De negatieve kant van verzonken kosten is dan weer dat de kosten die al zijn gemaakt niet zomaar teruggedraaid kunnen worden, wat de keuze minder flexibel maakt.